软件设计师精讲 数据的表示 浮点数的表示

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考点3：浮点数的表示

浮点的运算

浮点数表示：

N=尾数*基数^指数

以 1.25×10⁶ 为例：

其中的“1.25”就是尾数，它是定点小数的形式；

基数部分，在二进制存储的时候，固定是等于2的，不会发生变化了；

指数部分，就是这里的乘幂，也叫作“阶码”。

阶码是定点整数，一般用移码表示；

基数在计算机中是不需要存储的；

尾数一般使用补码来表示的；

有一类特殊的标注：IEEE754，尾数可以用原码来表示。

给出 1.255×10¹⁰ 和上面的 1.25×10⁶ 作对比，1.255×10¹⁰ 的数值范围更大，阶码可以影响数值表示的范围，阶码的位数越多，表示的范围就越大；

再来看尾数部分，尾数可以表示数值的有效精度，尾数越多，表示精度越高。

如果要对 1.25×10⁶ 和 1.255×10¹⁰ 进行加法运算的话：

首先，让它们的阶码对齐，我们叫做“对阶”，如果要求两个阶码一致——一种是让阶码保持为6，一种是让阶码保持为10。

如果阶码保持为6，1.255×10¹⁰ 就要变成 12550 ×10⁶，再和 1.25×10⁶ 相加之后还要重新调整阶码，才能保证前面的尾数是小数点前只保留1位，所以这种形式不可取。

我们在做“对阶”的时候，一般是“小数向大数看齐”，将 10⁶ 扩展为 10¹⁰ ，后面扩大了1万倍，乘法的另一部分就要缩小1万倍，1.25×10⁶ 就变成 0.000125×10^10，

接下来再对尾数进行加减运算，1.25×10⁶ + 1.255×10¹⁰ = 0.000125×10¹⁰ + 1.255×10¹⁰ = 1.255125×10¹⁰，以上就是浮点数的运算过程。

运算过程

对阶＞尾数计算＞结果格式化

在二进制中进行浮点数运算的时候，还需要对结果进行格式化，将尾数限定在 0.5 和 1 之间。

特点

1. 一般尾数用补码，阶码用移码（在IEEE754工业标准当中，尾数也可以用原码来表示，通常都是补码表示居多）
2. 阶码的位数决定数的表示范围，位数越多范围越大
3. 尾数的位数决定数的有效精度，位数越多精度越高
4. 对阶时，小数向大数看齐
5. 对阶是通过较小数的尾数右移（符号位保持不变，也叫作“算术右移”）实现的

例题讲解

浮点数能够表示的数的范围是由其（）的位数决定的。

A、尾数

B、阶码 √

C、数符

D、阶符

解：

尾数：决定的是有效精度，我们记录的数值是精确到百分位还是千分位就是有效精度；

阶符：就是阶码正负，阶码的符号位，符号位默认是正号，例如 10² 表示100，10^-2 表示1/100，阶码的符号位决定整个数是整数还是小数，如果是正号，它是一个整数，如果是负号，变成小数的形式。

数符：浮点数的结构是 尾数×2指数，数符就是尾数的符号位，对于 +0.125×10² 是一个正数，对于 -0.125×10² 就是一个负数，尾数符号位可以决定整个数的正负。其实就是尾数部分的符号位。

以下关于两个浮点数相加运算的叙述中，正确的是（）

A、首先进行对阶，阶码大的向阶码小的对齐

B、首先进行对阶，阶码小的向阶码大的对齐 √

C、不需要对阶，直接将尾数相加

D、不需要对阶，直接将阶码相加

解：

浮点数运算的步骤是：先对阶，然后尾数运算，最后结果格式化。

对阶是小数向大数看齐，尾数右移。

设16位浮点数，其中阶符1位、阶码值6位、数符1位、尾数8位。

若阶码用移码表示，尾数用补码表示，则该浮点数所能表示的数值范围是（）。

A、-2⁶⁴~（1-2^-8）2⁶⁴

B、-2⁶³~（1-2^-8）2⁶³

C、-(1-2^-8)2⁶⁴~(1-2^-8)2⁶⁴

D、-（1-2^-8）2⁶³~(1-2^-8)2⁶³

解：

16 bits
尾数		阶码
数符	尾数	阶符	阶码值
1 bit	8 bit	1 bit	6 bits

浮点数表示：N=尾数×基数^指数

	阶符	阶码（6位）						数符	尾数（8位）
最小范围	1	0	0	0	0	0	0
最大范围	0	1	1	1	1	1	1

尾数部分，取负数和正数分别能取到2^-64~2⁶³

根据指数，也就是阶码的位数，我们能判断7位二进制能表示的移码范围是