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=== 考点3：浮点数的表示 ===

==== 浮点的运算 ====
浮点数表示：

N=尾数*基数<sup>指数</sup>

以 1.25×10<sup>6</sup> 为例：

其中的“1.25”就是尾数，它是定点小数的形式；

基数部分，在二进制存储的时候，固定是等于2的，不会发生变化了；

指数部分，就是这里的乘幂，也叫作“阶码”。


阶码是定点整数，一般用移码表示；

基数在计算机中是不需要存储的；

尾数一般使用补码来表示的；

有一类特殊的标注：IEEE754，尾数可以用原码来表示。


给出 1.255×10<sup>10</sup> 和上面的 1.25×10<sup>6</sup> 作对比，1.255×10<sup>10</sup> 的数值范围更大，阶码可以影响数值表示的范围，阶码的位数越多，表示的范围就越大；

再来看尾数部分，尾数可以表示数值的有效精度，尾数越多，表示精度越高。

如果要对 1.25×10<sup>6</sup> 和 1.255×10<sup>10</sup> 进行加法运算的话：

首先，让它们的阶码对齐，我们叫做“对阶”，如果要求两个阶码一致——一种是让阶码保持为6，一种是让阶码保持为10。

如果阶码保持为6，1.255×10<sup>10</sup> 就要变成 12550 ×10<sup>6</sup>，再和 1.25×10<sup>6</sup> 相加之后还要重新调整阶码，才能保证前面的尾数是小数点前只保留1位，所以<u>这种形式不可取</u>。

我们在做“对阶”的时候，一般是“小数向大数看齐”，将 10<sup>6</sup> 扩展为 10<sup>10</sup> ，后面扩大了1万倍，乘法的另一部分就要缩小1万倍，1.25×10<sup>6</sup> 就变成 0.000125×10<sup>10，</sup>

接下来再对尾数进行加减运算，1.25×10<sup>6</sup> + 1.255×10<sup>10</sup> = 0.000125×10<sup>10</sup> + 1.255×10<sup>10</sup> = 1.255125×10<sup>10</sup>，以上就是浮点数的运算过程。


==== 运算过程 ====
对阶＞尾数计算＞结果格式化

在二进制中进行浮点数运算的时候，还需要对结果进行格式化，将尾数限定在 0.5 和 1 之间。



==== 特点 ====

# 一般尾数用<u>补码</u>，阶码用移码（在IEEE754工业标准当中，尾数也可以用原码来表示，通常都是补码表示居多）
# <u>阶码的位数</u>决定数的<u>表示范围</u>，位数越多范围越大
# <u>尾数的位数</u>决定数的<u>有效精度</u>，位数越多精度越高
# 对阶时，<u>小数向大数看齐</u>
# 对阶是通过较<u>小数的尾数右移（符号位保持不变，也叫作“算术右移”）</u>实现的

=== 例题讲解 ===
浮点数能够表示的数的范围是由其（）的位数决定的。

A、尾数

B、阶码 √

C、数符

D、阶符

解：

尾数：决定的是有效精度，我们记录的数值是精确到百分位还是千分位就是有效精度；

阶符：就是阶码正负，阶码的符号位，符号位默认是正号，例如 10<sup>2</sup> 表示100，10<sup>-2</sup> 表示1/100，阶码的符号位决定整个数是整数还是小数，如果是正号，它是一个整数，如果是负号，变成小数的形式。

数符：浮点数的结构是 尾数×2指数，数符就是尾数的符号位，对于 +0.125×10<sup>2</sup> 是一个正数，对于 -0.125×10<sup>2</sup> 就是一个负数，尾数符号位可以决定整个数的正负。其实就是尾数部分的符号位。



以下关于两个浮点数相加运算的叙述中，正确的是（）

A、首先进行对阶，阶码大的向阶码小的对齐

B、首先进行对阶，阶码小的向阶码大的对齐 √

C、不需要对阶，直接将尾数相加

D、不需要对阶，直接将阶码相加

解：

浮点数运算的步骤是：先对阶，然后尾数运算，最后结果格式化。

对阶是小数向大数看齐，尾数右移。



设16位浮点数，其中阶符1位、阶码值6位、数符1位、尾数8位。

若阶码用移码表示，尾数用补码表示，则该浮点数所能表示的数值范围是（）。

A、-2<sup>64</sup>~（1-2<sup>-8</sup>）2<sup>64</sup>

B、-2<sup>63</sup>~（1-2<sup>-8</sup>）2<sup>63</sup>

C、-(1-2<sup>-8</sup>)2<sup>64</sup>~(1-2<sup>-8</sup>)2<sup>64</sup>

D、-（1-2<sup>-8</sup>）2<sup>63</sup>~(1-2<sup>-8</sup>)2<sup>63</sup>

解：
{| class="wikitable"
|+
! colspan="4" |16 bits
|-
! colspan="2" |尾数
! colspan="2" |阶码
|-
|数符
|尾数
|阶符
|阶码值
|-
|1 bit
|8 bit
|1 bit
|6 bits
|}
浮点数表示：N=尾数×基数<sup>指数</sup>
{| class="wikitable"
|+
!阶符
! colspan="6" |阶码（6位）
!数符
!尾数（8位）
|-
|1
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|}